Algebraic geometry I-V by Shafarevich I.R. (ed.)

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I. SATZ. a) Jede irreduzible Teilmenge von X ist in einer irreduziblen Komponente von X entbalten. b) X ist die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten. BEWEIS: Fur jedes P EXist {P} eine irreduzible Menge, daher folgt b) aus a). Aussage a) ergibt sich mit dem Zornschen Lemma: Fur eine irreduzible Teilmenge X' C X sei M die Menge der X' umfassenden irreduziblen Teilmengen mit der Inklusion als Ordnungsrelation. EA von Elementen X). E Mist auch Y:= U X). ein Element von M. i i= 0 (i = 1,2). 3).

Xnl gibt, so daB V die Losungsmenge des Gleichungssystems (1) Fi =0 (i=l, ... ,m) ist. Dieses heiBt dann ein definierendes Gleichungssystem fur V. auch, V sei definiert uber K. Man sagt Spezielle projektive K -Varietiiten sind die liber K definierten projektiven Unterriiume, die durch homogene lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus K gegeben werden. Wir nennen sie in Zukunft lineare projektive K -Varietiiten. Zu ihnen gehoren die K -Geraden und K -Hyperebenen, ferner die K -rationalen Punkte von P L, das sind die Punkte (XO,Xl,""X n ), die ein System homogener Koordinaten (xo, ...

1+ (V). 1+(0) := (Xo, ... ,Xn ). Fur ein homogenes Ideal Ie K[Xo, ... , Xnl ist die Nullstellenmenge V+(I) in P L die Menge der gemeinsamen Nullstellen aller Polynome aus I. Da I von endlich vielen homogenen Polynomen erzeugt wird, ist V+(I) eine projektive K -Varietiit. Fur die Operationen J+ und V+ gelten ahnliche Regeln wie fur J und V im Affinen. Die meisten kann man ebenso leicht wie dort beweisen. Man kann aber auch wie folgt vorgehen, um diese Regeln auf die fruheren zuruckzufuhren. I1. 4.

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