Algebraic geometry by Dieudonne J.

By Dieudonne J.

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Arithmetic of Quadratic Forms

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Generalized Polygons

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Probability on Algebraic Structures: Ams Special Session on Probability on Algebraic Structures, March 12-13, 1999, Gainesville, Florida

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p-adic geometry: lectures from the 2007 Arizona winter school

In fresh many years, $p$-adic geometry and $p$-adic cohomology theories became essential instruments in quantity idea, algebraic geometry, and the idea of automorphic representations. The Arizona wintry weather institution 2007, on which the present booklet relies, was once a distinct chance to introduce graduate scholars to this topic.

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Example text

I. SATZ. a) Jede irreduzible Teilmenge von X ist in einer irreduziblen Komponente von X entbalten. b) X ist die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten. BEWEIS: Fur jedes P EXist {P} eine irreduzible Menge, daher folgt b) aus a). Aussage a) ergibt sich mit dem Zornschen Lemma: Fur eine irreduzible Teilmenge X' C X sei M die Menge der X' umfassenden irreduziblen Teilmengen mit der Inklusion als Ordnungsrelation. EA von Elementen X). E Mist auch Y:= U X). ein Element von M. i i= 0 (i = 1,2). 3).

Xnl gibt, so daB V die Losungsmenge des Gleichungssystems (1) Fi =0 (i=l, ... ,m) ist. Dieses heiBt dann ein definierendes Gleichungssystem fur V. auch, V sei definiert uber K. Man sagt Spezielle projektive K -Varietiiten sind die liber K definierten projektiven Unterriiume, die durch homogene lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus K gegeben werden. Wir nennen sie in Zukunft lineare projektive K -Varietiiten. Zu ihnen gehoren die K -Geraden und K -Hyperebenen, ferner die K -rationalen Punkte von P L, das sind die Punkte (XO,Xl,""X n ), die ein System homogener Koordinaten (xo, ...

1+ (V). 1+(0) := (Xo, ... ,Xn ). Fur ein homogenes Ideal Ie K[Xo, ... , Xnl ist die Nullstellenmenge V+(I) in P L die Menge der gemeinsamen Nullstellen aller Polynome aus I. Da I von endlich vielen homogenen Polynomen erzeugt wird, ist V+(I) eine projektive K -Varietiit. Fur die Operationen J+ und V+ gelten ahnliche Regeln wie fur J und V im Affinen. Die meisten kann man ebenso leicht wie dort beweisen. Man kann aber auch wie folgt vorgehen, um diese Regeln auf die fruheren zuruckzufuhren. I1. 4.

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