A Bayesian forecasting model: predicting U.S. male mortality by Pedroza C.

By Pedroza C.

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Example text

Bn , in cui Bi = Ai oppure Bi = Aci , si ha P(B1 ∩ B2 ∩ . . ∩ Bn ) = P(B1 ) · P(B2 ) · · · P(Bn ) . 49) Dimostrazione. Cominciamo mostrando l’implicazione (ii) ⇒ (i), procedendo per induzione su n ≥ 2. 49). Concentriamoci dunque sul passo induttivo. 49) e mostriamo che gli eventi A1 , . . 47) per ogni J ⊆ {1, . . , n}. 3 Probabilità condizionale e indipendenza 45 estremo in cui J = {1, . . 49) scegliendo Bi = Ai , quindi possiamo supporre che |J| ≤ n − 1. Per semplificare le notazioni, limitiamoci a considerare J ⊆ {1, .

An ) , e usando due volte l’ipotesi induttiva otteniamo P(Ac1 ∩ . . ∩ Ack ∩ Ak+1 ∩ . . ∩ An ) = P(Ac1 ) · · · P(Ack−1 ) P(Ak+1 ) · · · P(An ) − P(Ac1 ) · · · P(Ack−1 ) P(Ak ) P(Ak+1 ) · · · P(An ) = P(Ac1 ) · · · P(Ack−1 ) 1 − P(Ak ) P(Ak+1 ) · · · P(An ) = P(Ac1 ) · · · P(Ack−1 ) P(Ack ) P(Ak+1 ) · · · P(An ) , che è proprio quanto dovevamo mostrare. 46 1 Spazi di probabilità discreti: teoria La seguente proposizione mostra che se in un’arbitraria famiglia di eventi indipendenti si rimpiazzano alcuni eventi con i loro complementari, si ottiene ancora una famiglia di eventi indipendenti.

N} → {1, . . , n} biunivoche . Per quanto visto sopra, si ha |Sn | = n!. 1. 32. Mischiando un mazzo di carte da poker, la sequenza ordinata delle carte che ne risulta è una permutazione delle carte del mazzo. Il numero delle possibili sequenze ottenute in questo modo è dunque pari a 52! ≈ 8 · 1067 . 33 (Paradosso dei compleanni). Determiniamo la probabilità pn che, in un gruppo di n persone selezionate in modo casuale (nate tutte in un anno non bisestile, per semplicità), almeno due di esse compiano gli anni lo stesso giorno.

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